题目内容

（2012•天津模拟）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分．现从盒内任取3个球
（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；
（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；
解答：解：（Ⅰ）取出的3个球中至少有一个红球的概率：
P=1-
C
3
7
C
3
9
=
7
12
          （3分）
（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，
则 P(B+C)=P(B)+P(C)=
C
1
2
C
2
3
C
3
9
+
C
2
2
C
1
4
C
3
9
=
5
42
．…（6分）
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3．…（7分）
P(ξ=0)=
C
3
6
C
3
9
=
5
21
，
P(ξ=1)=
C
1
3
C
2
6
C
3
9
=
45
84
，
P(ξ=2)=
C
2
3
C
1
6
C
3
9
=
3
14
，
P(ξ=3)=
C
3
3
C
3
9
=
1
84
．…（11分）
ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
5
21
45
84
3
14
1
84
ξ的数学期望Eξ=0×
5
21
+1×
45
84
+2×
3
14
+3×
1
84
=1（13分）；
点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，计算的时候要仔细，是一道基础题；
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+
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=
5
2
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-11
-11
．
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2
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