题目内容
在平面直角坐标系中,已知A1(-3,0)A2(3,0)P(x,y)M(
,0),若向量
,λ
,
满足(
)2=3
•
(1)求P点的轨迹方程,并判断P点的轨迹是怎样的曲线;
(2)过点A1且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B,能否在直线x=-9上找一点C,使△A1BC为正三角形.
x2-9 |
A1P |
OM |
A2P |
OM |
A1P |
A2P |
(1)求P点的轨迹方程,并判断P点的轨迹是怎样的曲线;
(2)过点A1且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B,能否在直线x=-9上找一点C,使△A1BC为正三角形.
(1)由A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(
,0),
可得
=(x+3,y),
=(x-3,y),
=(
,0),
∵(
)2=3
•
,∴x2-9=3(x+3,y)•(x-3,y),
即x2-9=3x2+3y2-27,也就是2x2+3y2-18=0,即
+
=1,
故P点的轨迹是与6为长轴长,2
为焦距,焦点在x轴上的椭圆;
(2)过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,
由
,得5x2+18x+9=0,x1=-3,x2=-
.
从而|A1B|=
|x2-x1|=
.
设C(-9,y),则|A1C|=
=
.
∵△A1BC是正三角形,∴|A1B|=|A1C|,
=
,
即y2=-
,无解,
∴在直线x=-9上找不到点C,使△A1BC是正三角形.
x2-9 |
可得
A1P |
A2p |
OM |
x2-9 |
∵(
OM |
A1P |
A2P |
即x2-9=3x2+3y2-27,也就是2x2+3y2-18=0,即
x2 |
9 |
y2 |
6 |
故P点的轨迹是与6为长轴长,2
3 |
(2)过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,
由
|
3 |
5 |
从而|A1B|=
1+k2 |
12 |
5 |
2 |
设C(-9,y),则|A1C|=
(-9+3)2+(y-0)2 |
y2+36 |
∵△A1BC是正三角形,∴|A1B|=|A1C|,
y2+36 |
12 |
5 |
2 |
即y2=-
612 |
25 |
∴在直线x=-9上找不到点C,使△A1BC是正三角形.
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