题目内容

在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
满足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A1且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A1BC为正三角形．
（1）由A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M（
x2-9
，0），
可得
A1P
=(x+3，y)，
A2p
=(x-3，y)，
OM
=(
x2-9
，0)，
∵(
OM
)2=3
A1P
•
A2P
，∴x2-9=3（x+3，y）•（x-3，y），
即x2-9=3x2+3y2-27，也就是2x2+3y2-18=0，即
x2
9
+
y2
6
=1，
故P点的轨迹是与6为长轴长，2
3
为焦距，焦点在x轴上的椭圆；
（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3，
由
y=x+3
x2
9
+
y2
6
=1
，得5x2+18x+9=0，x1=-3，x2=-
3
5
．
从而|A1B|=
1+k2
|x2-x1|=
12
5
2
．
设C（-9，y），则|A1C|=
(-9+3)2+(y-0)2
=
y2+36
．
∵△A1BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，
y2+36
=
12
5
2
，
即y2=-
612
25
，无解，
∴在直线x=-9上找不到点C，使△A1BC是正三角形．
练习册系列答案
相关题目
已知点P（2，1），若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是______．
动点P与两个定点A（-6，0），B（6，0）连线的斜率之积为-
1
3
，P点轨迹为C，
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过M（-2，2）与C交于E，G两点，且线段EG中点是M，求l方程．
已知抛物线C：y2=8x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+2）与抛物线C交于不同两点A，B
（1）求证：
OA
•
OB
为常数；
（2）求满足
OM
=
OA
+
OB
的点M的轨迹方程．
已知F是抛物线y2=4x上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足
FP
=2
FM
，则M的轨迹方程是______．
已知曲线C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．
已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．
如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D；抛物线上的点T（2，t）（t＞0）到焦点的距离为3．
（1）求p、t的值；
（2）当四边形ACBD的面积取得最小值时，求直线AB的斜率．
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，短轴长为2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网