题目内容

在平面直角坐标系中,已知A1(-3,0)A2(3,0)P(x,y)M(
x2-9
,0),若向量
A1P
λ
OM
A2P
满足(
OM
)2=3
A1P
A2P

(1)求P点的轨迹方程,并判断P点的轨迹是怎样的曲线;
(2)过点A1且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B,能否在直线x=-9上找一点C,使△A1BC为正三角形.
(1)由A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(
x2-9
,0),
可得
A1P
=(x+3,y),
A2p
=(x-3,y),
OM
=(
x2-9
,0)

(
OM
)2=3
A1P
A2P
,∴x2-9=3(x+3,y)•(x-3,y),
即x2-9=3x2+3y2-27,也就是2x2+3y2-18=0,即
x2
9
+
y2
6
=1

故P点的轨迹是与6为长轴长,2
3
为焦距,焦点在x轴上的椭圆;
(2)过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,
y=x+3
x2
9
+
y2
6
=1
,得5x2+18x+9=0,x1=-3,x2=-
3
5

从而|A1B|=
1+k2
|x2-x1|=
12
5
2

设C(-9,y),则|A1C|=
(-9+3)2+(y-0)2
=
y2+36

∵△A1BC是正三角形,∴|A1B|=|A1C|,
y2+36
=
12
5
2

y2=-
612
25
,无解,
∴在直线x=-9上找不到点C,使△A1BC是正三角形.
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