Question

7．在平面直角坐标系xOy中，$\overrightarrow{OA}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）若∠AOB=$\frac{5}{6}$π，求向量$\overrightarrow{AB}$的模；
（2）将函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，试求函数F（x）=f（x）+g（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）运用向量的模的公式和向量的数量积的坐标表示，以及模的平方即为向量的平方，计算即可得到；
（2）运用两角差的正弦公式和三角函数的图象平移规律，可得g（x）的解析式，再由两角和差的正弦公式，化简，结合正弦函数的图象和性质，即可求得所求值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OA}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×$\sqrt{3}$×cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{3}{2}$，
向量$\overrightarrow{AB}$的模为|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$
=$\sqrt{1+3-2×（-\frac{3}{2}）}$=$\sqrt{7}$；
（2）f（x）=-$\frac{3}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）
=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
由f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，
即有g（x）=$\sqrt{3}$sinx，
函数F（x）=f（x）+g（x）=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinx
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+sinx）=3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=3sin（x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，π]，可得x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
则函数F（x）的值域为[-$\frac{3}{2}$，3]．

点评 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示即性质，同时考查函数图象的平移和正弦函数的图象和性质，考查运算化简能力，属于中档题．