题目内容
【题目】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD．
（2）求三棱锥B-EFC的体积．
【答案】（
）见解析；（
）
．
【解析】
（1）取PC的中点G，证明四边形EFGA是平行四边形，可得EF∥AG，证得EF∥平面PAD．
（2）取AD中点O，可证PO⊥底面ABCD，进而得到点F到面ABCD距离，利用等体积转换
，即可求三棱锥B-AEF的体积．
（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，
∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且
，
又AE∥CD且
，∴GF∥AE且GF=AE，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又EF面PAD，AG面PAD，
∴EF∥面PAD；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且
，
又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离
，
故
.
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