题目内容
已知函数
(1)当时,求函数的单调区间和极值;
(2)若函数在[1,4]上是减函数,求实数的取值范围.
(1)递减、递增、极小值是 ;(2)
解析试题分析:(1)先求定义域,再求,令,求根并将定义域分段,在每段内分别考虑的符号,如果在的左侧导数恒正右侧导数恒负,则是极大值点;若在的左侧导数恒负右侧导数恒正,则是极小值点,同时导函数的符号确定,单调区间可求;(2)将代入,得,要使在区间[1,4]是减函数,只需恒成立,即,再参变分离得,再利用导数求右侧函数的最小值即可求的范围.
试题解析:(1)函数的定义域为(0,+∞),当时,,
当变化时,的变化情况如下:
的单调递减区间是 ;单调递增区间是,极小值是;- 0 + 极小值
(2)由,得,又函数为[1,4]上的单调减函数,则在[1,4]上恒成立,所以不等式在[1,4]上恒成立,即在[1,4]上恒成立,设,显然在[1,4]上为减函数,所以的最小值为的取值范围是
考点:1、单调性和极值;2、导数在单调性上的应用.
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