题目内容
已知函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保值区间.,试问函数在上是否存在保值区间?若存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由.
(1)当时,的单调增区间为;当时,的单调增区间为,减区间为;(2)不存在保值区间.
解析试题分析:本题主要考查函数与导数以及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法,考查思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力,考查转化思想和分类讨论思想.第一问,先对求导,令,可以看出的单调区间是由0和1断开的,现在所求的范围是,所以将从0断开,分和两部分进行讨论,分别判断的正负来决定的单调性;第二问,用反证法证明,先假设存在保值区间,先求出,再求导,因为,所以可以求出最值,即方程有两个大于1的相异实根,下面证明函数有2个零点,通过2次求导,判断单调性和极值确定只有一个零点,所以与有2个大于1的实根矛盾,所以假设不成立,所以不存在保值区间.
试题解析:(1)当时,,此时的单调增区间为;
当时,,
此时的单调增区间为,减区间为 4分
(2)函数在上不存在保值区间. 5分
证明如下:
假设函数存在保值区间[a,b]. ,,
因时,所以为增函数, 所以
即方程有两个大于1的相异实根。 7分
设,
因,,所以在上单增,又,
即存在唯一的使得 9分
当时,为减函数,当时,为增函数,
所以函数在处取得极小值。又因,
所以在区间上只有一个零点, 11分
这与方程有两个大于1的相异实根矛盾.
所以假设不成立,即函数在上不存在保值区间. 12分
考点:1.利用导数求函数的单调区间;2.反证法;3.利用导数求函数的极值.