题目内容

【题目】已知动直线与椭圆交于两个不同点,且的面积,其中为坐标原点.

1)证明均为定值;

2)设线段的中点为,求的最大值;

【答案】1)详见解析;(2.

【解析】

1)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线的斜率不存在时,可得出,根据的面积求得的值,可得出的值;在直线的斜率存在时,设直线的方程为,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,利用三角形的面积公式可求得的值,进而得出结论;

2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线的斜率不存在时,可直接求得的值;在直线的斜率存在时,求得关于的表达式,利用基本不等式可求得的最大值,进而可得出结论.

(1)当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称,所以

在椭圆上,①,又,②

由①②得.此时

当直线的斜率存在时,是直线的方程为

将直线的方程代入

,即

由韦达定理得

O到直线的距离为

,整理得

此时

综上所述,结论成立;

2)当直线的斜率不存在时,由(1)知,因此

当直线的斜率存在时,由(1)知

所以

当且仅当,即时,等号成立.

综上所述,的最大值为.

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