题目内容
【题目】已知动直线与椭圆交于、两个不同点,且的面积,其中为坐标原点.
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线的斜率不存在时,可得出,,根据的面积求得、的值,可得出和的值;在直线的斜率存在时,设直线的方程为,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,利用三角形的面积公式可求得和的值,进而得出结论;
(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线的斜率不存在时,可直接求得的值;在直线的斜率存在时,求得、关于的表达式,利用基本不等式可求得的最大值,进而可得出结论.
(1)当直线的斜率不存在时,、两点关于轴对称,所以,,
在椭圆上,①,又,②
由①②得,.此时,;
当直线的斜率存在时,是直线的方程为,
将直线的方程代入得,
,即,
由韦达定理得,,
,
点O到直线的距离为,
,
又,整理得,
此时,
,
综上所述,,结论成立;
(2)当直线的斜率不存在时,由(1)知,,因此;
当直线的斜率存在时,由(1)知,,
,
,
所以,.
当且仅当,即时,等号成立.
综上所述,的最大值为.
【题目】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》,空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数,绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表:
空气质量指数 | 300以上 | |||||
空气质量等级 | 一级 (优) | 二级 (良) | 三级 (轻度污染) | 四级 (中度污染) | 五级 (重度污染) | 六级 (严重污染) |
(1)根据频率分布直方图估计,在这30天中,空气质量等级为优或良的天数;
(2)根据体质检查情况,医生建议:当空气质量指数高于90时,市民甲不宜进行户外体育运动;当空气质量指数高于70时,市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).
①从这30天中随机选取2天,记乙不宜进行户外体育运动,且甲适宜进行户外体育运动的天数为X,求X的分布列和数学期望;
②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响),甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动,求甲恰有2天,且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.