题目内容
【题目】已知函数f(x)= (e是自然对数的底数),h(x)=1﹣x﹣xlnx.
(1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求h(x)的单调区间;
(3)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,g(x)<1+e﹣2 .
【答案】
(1)解:f(x)= 的导数为
=
,
可得曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为0,
切点为(1, ),可得曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y=
(2)解:h(x)=1﹣x﹣xlnx求导数得h′(x)=﹣1﹣(1+lnx),x∈(0,+∞),
令h′(x)=﹣2﹣lnx=0,x∈(0,+∞),可得x=e﹣2,
当x∈(0,e﹣2)时,h′(x)>0;当x∈(e﹣2,+∞)时,h′(x)<0.
因此h(x)的单调递增区间为(0,e﹣2),单调递减区间为(e﹣2,+∞)
(3)证明:因为g(x)=xf′(x).
所以g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).
由h(x)=1﹣x﹣xlnx,
求导得h′(x)=﹣lnx﹣2=﹣(lnx﹣lne﹣2),
所以当x∈(0,e﹣2)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
当x∈(e﹣2,+∞)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.
所以当x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.
又当x∈(0,+∞)时,0< <1,
所以当x∈(0,+∞)时, h(x)<1+e﹣2,即g(x)<1+e﹣2.
综上所述,对任意x>0,g(x)<1+e﹣2
【解析】(1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,即可得到所求切线的方程;(2)求导数,利用导数的正负,求h(x)的单调区间;(3)g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).由h(x)=1﹣x﹣xlnx,确定当x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.当x∈(0,+∞)时,0<
<1,即可证明结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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