Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）=$\frac{a}{2}$•[f²（x）-2]+f（x）（其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得函数的定义域；把函数解析式两边平方，求出f²（x）的范围后得函数值域；
（2）把f²（x）、f（x）的解析式代入F（x）=$\frac{a}{2}$•[f²（x）-2]+f（x），然后令t=f（x）=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$换元，化为关于t的二次函数，然后结合二次函数的性质分类求得F（x）的最大值g（a）．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-x≥0}\end{array}\right.$，得-1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[-1，1]；
又f²（x）=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[2，4]，由f（x）≥0，得值域为[$\sqrt{2}$，2]；
（2）∵F（x）=$\frac{a}{2}$•[f²（x）-2]+f（x）=a$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，
令t=f（x）=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²-1，
∴F（x）=m（t）=a（$\frac{1}{2}$t²-1）+t=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值．
注意到直线t=-$\frac{1}{a}$是抛物线mt=$\frac{1}{2}$at²+t-a的对称轴，
当a=0时，m（t）=t，∴g（a）=2；
当a＞0时，m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]递增，∴g（a）=m（2）=a+2；
当a＜0时：
①若t=-$\frac{1}{a}$∈（0，$\sqrt{2}$]，即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则g（a）=m（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$；
②若t=-$\frac{1}{a}$∈（$\sqrt{2}$，2]，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$$＜a≤-\frac{1}{2}$，则g（a）=m（-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{2a}$；
③若t=-$\frac{1}{a}$∈（2，+∞]，即$-\frac{1}{2}＜a＜0$，则g（a）=m（2）=a+2．
综上有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，a≥-\frac{1}{2}}\\{-a-\frac{1}{2a}，-\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜-\frac{1}{2}}\\{\sqrt{2}，a≤-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了利用换元法和配方法求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想方法，属中高档题．