题目内容

（2011•洛阳二模）给出下列命题：
①已知
i
，
j
为互相垂直的单位向量，
a
=
i
-2
j
，
b
=
i
+λ
j
，且
a
，
b
的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-∞，
1
2
）；
②若某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
?
y
=10x+200；
③若x1，x2，x3，x4的方差为3，则3（x1-1），3（x2-1），3（x3-1）），3（x4-1）的方差为27；
④设a，b，C分别为△ABC的角A，B，C的对边，则方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°．
上面命题中，假命题的序号是
①②
①②
（写出所有假命题的序号）．
分析：根据λ=-2时，
a
，
b
同向，可判断①的真假；
根据回归系数符号与相关性的关系，可判断②的真假；
根据数据增加a，数据的方差不变，数据扩大a倍，数据的方差扩大a2倍，可判断③的真假；
根据充要条件的定义，分别判断A=90°时设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根和设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根时，A=90°的真假，可判断④的真假．
解答：解：∵λ=-2时，
a
，
b
同向，
a
，
b
的夹角为0，不是锐角，故①错误；
若某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程的回归系数
?
b
＜0，不可能是
?
y
=10x+200，故②错误
若x1，x2，x3，x4的方差为3，则（x1-1），（x2-1），（x3-1）），（x4-1）的方差为3，3（x1-1），3（x2-1），3（x3-1）），3（x4-1）的方差为3×32=27，故③正确；
当A=90°时，a2=b2+c2，则x2+2ax+b2=0?x2+2ax+a2-c2=0?[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．
同样，x2+2cx-b2=0?[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a），显然x1=x3，两方程有公共根．
设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m，则x2+2ax+b2=0加x2+2cx-b2=0得m=-（a+c）．m=0（舍去）．将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]2+2a•[-（a+c）]+b2=0，整理得a2=b2+c2，即A=90°，故④正确；
故答案为：①②
点评：本题又命题的真假判断为载体考查了向量的数量积运算，相关关系，方差的变化，充要条件等基础知识，难度中档．
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1
2
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112
112
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52
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