题目内容

【题目】近年来,雾霾日趋严重,我们的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产该型号空气净化器x(百台),其总成本为P(x)(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入Q(x)(万元)满足Q(x)= ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据以述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?

【答案】
(1)解:由题意得P(x)=12+10x,

则f(x)=Q(x)﹣P(x)=

即为f(x)=


(2)解:当x>16时,函数f(x)递减,即有f(x)<f(16)=212﹣160=52万元

当0≤x≤16时,函数f(x)=﹣0.5x2+12x﹣12

=﹣0.5(x﹣12)2+60,

当x=12时,f(x)有最大值60万元.

所以当工厂生产12百台时,可使利润最大为60万元.


【解析】1、根据题意可得f(x)=Q(x)﹣P(x),整理成最简的分段函数。
2、由函数的增减性可求得,当x>16时,函数f(x)递减,即有f(x)<f(16)=212﹣160=52万元;再根据二次函数在指定区间上的最值求得,当0≤x≤16时,函数f(x)有最大值60万元,综上各式求得当工厂生产12百台时,可使利润最大为60万元。

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