题目内容
15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1（I）求函数f（x）的最小正周期，并求当$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$时f（x）的取值范围；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数g（x）的图象．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g$（{\frac{A}{2}}）$=1，a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
分析 （I）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），从而可求函数f（x）的最小正周期，
当$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$时，可求-$\frac{π}{3}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，从而可得f（x）的取值范围．
（Ⅱ）由三角函数中的恒等变换应用可求g（x）=2cos2x．由g（$\frac{A}{2}$）=2cosA=1，结合范围0＜α＜π，可求A的值，由余弦定理可求bc，从而有三角形面积公式即可得解．
解答 解：（I）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos2x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
当$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$时，-$\frac{π}{3}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）的取值范围为：[-1，2]…6分
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∴g（$\frac{A}{2}$）=2cosA=1，cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜α＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，
∴4=b2+c2-2bc$•\frac{1}{2}$，
∴4=（b+c）2-2bc-bc，4=16-3bc，
∴bc=4
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$…12分
点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，综合性较强，属于基本知识的考查．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PD⊥平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且C1F=$\frac{1}{3}$C1C，BE=$\frac{1}{3}$BB1．
如图，C是⊙O的直径AB上一点，CD⊥AB，与⊙O相交于点D，与弦AF交于点E，与BF的延长线交于点G，GT与⊙O相切于点T．| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$ | C． | $-\sqrt{2}$ | D． | 0 |
| A． | $f（{-\frac{1}{2}}）＜f（{\frac{3}{4}}）＜f（{\frac{2}{3}}）$ | B． | $f（{-\frac{1}{2}}）＜f（{\frac{2}{3}}）＜f（{\frac{3}{4}}）$ | C． | $f（{\frac{3}{4}}）＜f（{\frac{2}{3}}）＜f（{-\frac{1}{2}}）$ | D． | $f（{\frac{2}{3}}）＜f（{-\frac{1}{2}}）＜f（{\frac{3}{4}}）$ |