题目内容

2.在锐角三角形ABC中,若tanA,tanB,tanC依次成等差数列,则tanAtanC的值为3.

分析 利用等差数列列出关系式,利用三角形的内角和以及两角和的正切函数,化简求解即可.

解答 解:由题意知:A≠$\frac{π}{2}$,B≠$\frac{π}{2}$,C≠$\frac{π}{2}$,且A+B+C=π,tanA,tanB,tanC依次成等差数列,
∴2tanB=tanA+tanC,
∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,
又∵tan(A+B)=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$,
∴tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC,
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,
∴tanAtanC=3.
故答案为:3.

点评 本题考查数列的应用,两角和的正切函数定义域,考查计算能力.

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