Question

某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为

1

2

、

1

3

、

1

4

，记该参加者闯三关所得总分为ξ．
（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为

1

2

、

1

3

、

1

4

，及前两关至少过一关才有资格闯第三关，可知参加者有资格闯第三关为事件A的概率P（A）=p₁（1-p₂）+（1-p₁）p₂+p₁p₂，代入易求结果．
（2）首先根据游戏的计分规则，要分析ξ可能取的值，列出分布列，即可求出数学期望．

解答：（1）设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为：
p1=

1

2

、p2=

1

3

、p3=

1

4

，
该参加者有资格闯第三关为事件A．
则P(A)=p1(1-p2)+(1-p1)p2+p1p2=

2

3

；
（2）由题意可知，ξ的可能取值为0、3、6、7、10，
P(ξ=0)=(1-p1)(1-p2)=

1

3

，
P(ξ=3)=p1(1-p2)(1-p3)+(1-p1)p2(1-p3)=

1

4

+

1

8

=

3

8

，
P(ξ=6)=p1p2(1-p3)=

1

8

，
P(ξ=7)=p1(1-p2)p3+(1-p1)p2p3=

1

12

+

1

24

=

1

8

，
P(ξ=10)=p1p2p3=

1

24

，
所以ξ的分布列为

所以ξ的数学期望Eξ=0×

1

3

+3×

3

8

+6×

1

8

+7×

1

8

+10×

1

24

=3

1

6

点评：本题所考查的知识点难度不高，理解起来很容易，思路也较清晰，但由于解题思路受题目中游戏规则的限制，故解决本题的关键是仔细分析题意，特别是计分规则，及每种分值产生的情况，不要有重复和遗漏，否则对结果，特别是分布列和数学期望的计算产生重大的影响．