题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
图象在点
处的切线方程;
(2)当时,讨论函数
的单调性
(3)是否存在实数,对任意的
有
恒成立?若存在,求出
的取值范围:若不存在,说明理由
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】分析:(1)先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率为,最后根据点斜式求切线方程,(2)先求导数,解得导函数零点,根据两零点大小关系分类讨论导函数符号,最后根据导函数符号确定函数单调性,(3)先调整不等式为
,再构造函数
,转化为
在
上单调递增,即
恒成立,最后利用变量分离法转化为对应函数最值问题
最小值,利用二次函数性质求最值可得结果.
详解:(1)当时,
,
,所以所求的切线方程为
,即
.
(2)①当,即
时,
,
在
上单调递增.
②当,即
时,因为
或
时,
;当
时,
,
在
,
上单调递增,在
上单调递减;
③当,即
时,因为
或
时,
;当
时,
,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
(3)假设存在这样的实数,满足条件,不妨设
,由
知
,令
,则函数
在
上单调递增.所以
,即
在
上恒成立,所以
,故存在这样的实
,满足题意,其取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业对现有设备进行了改造,为了了解设备改造后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测其质量指标值,若质量指标值在内,则该产品视为合格品,否则视为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.
(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关:
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(2)根据图1和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价180元;质量指标值落在
或
内的定为二等品,每件售价150元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元.根据频数分布表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为
(单位:元),求
的分布列和数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |