题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求函数
的图象在
处的切线方程;
(2)若函数在定义域上为单调增函数。
①求的最大整数值;
②证明:
【答案】(1) .
(2) ①2;②证明见解析.
【解析】分析:(1)当时,化简函数的解析式,求出函数的导数,求出斜率,然后利用点斜式求函数
的图象在
处的切线方程;(2)①函数
在定义域上为单调增函数,则
恒成立.先证明
,设
,则
,推出
当时,
恒成立,当
时,
,即
不恒成立,可得
的最大整数值为
;②由①知,
,令
,由此可知,当
时,
,当
时,
;当
时,
.....;当
时,
,即可得出结论.
详解:(1)当时,
∴
又,
所以
所求切线方程为,即
(2)由题意知,
若函数在定义域上为单调增函数,则
恒成立,
①先证明,设
,则
则函数在
单调递减,在
单调递增
所以,即
同理可证,
所以,
所以
当时,
恒成立,
当时,
,即
不恒成立
综上所述,的最大整数值为
②由①知,,令
所以,
所以
由此可知,当时,
当时,
当时,
.....,
当时,
累加得
又
所以
即
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