Question

【题目】试求出所有的正整数组，使得.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由题意设.①

下面分两种情况讨论.

（1）若，则.因此，.显然，.

若，则，故只能有；若，则是正整数，

故只可能有.

（2）若，由对称性不妨假设，即.考虑二次方程，②

其中，是方程②的一个根.

设方程的另一根为.由韦达定理有是，.所以，为正整数且.

下面证明：当时，.

事实上，

.

又，，则 .所以，，成立.

由于和是方程②的两个根，因此，对某个，

如果一组是方程①的解，

那么，也是方程①的解.

而，可因此，对方程①的任意一个解，

用来替换原来的，式①仍然成立.只要这里的，

这样的替换便可以继续下去.而每经过一次这样的替换，的值将会减少.

因此，经过有限步之后，必有.

下面讨论时，方程①的解.

（i）若，则方程①即为.而，

故仅有解.此时，.

（ii）若,则有.③

因为是正整数，所以， 是正整数.

故.如果,则.解得.

于是，,,即,此时，.

如果,代入式③可得,即与矛盾.因此，只能取.

当时，方程①的任意一个解经过有限次替换以后必将变为.

反过来，对作上述替换的逆变换，

将生成方程的全部解.这些解可表示为，

在这里，数列满足，以及递推关系.

同理，当时，方程的全部解为，

在这里，数列满足,以及递推关系.

当时，由对称性可知，方程的全部解为以及.

因此，全部解为.其中，数列满足，；数列满足，.