Question

7．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 法一、由已知求出sin（$α+\frac{π}{4}$）=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$．然后利用诱导公式及二倍角的正弦求得分子，利用两角和的正弦求得分母，则答案可求；
法二、把要求值的式子分子展开二倍角余弦，约分后利用两角和的余弦化积，则答案可求．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$．
当sin（$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$时，
∴cos2α=sin（2α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$α+\frac{π}{4}$）cos（$α+\frac{π}{4}$）=2×$（-\frac{\sqrt{14}}{4}）×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$-\frac{\sqrt{7}}{4}$，
sinα+cosα=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{14}}{4}）$=$-\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{2}$；
当sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{14}}{4}$时，
∴cos2α=sin（2α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$α+\frac{π}{4}$）cos（$α+\frac{π}{4}$）=2×$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
sinα+cosα=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{2}$．
综上，$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{2}$；
法二、$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{cosα+sinα}$=$\frac{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}{cosα+sinα}$
=cosα-sinα=$\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．