题目内容
7.已知cos(α+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,则$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{2}$.分析 法一、由已知求出sin($α+\frac{π}{4}$)=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$.然后利用诱导公式及二倍角的正弦求得分子,利用两角和的正弦求得分母,则答案可求;
法二、把要求值的式子分子展开二倍角余弦,约分后利用两角和的余弦化积,则答案可求.
解答 解:∵cos(α+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
∴sin($α+\frac{π}{4}$)=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$.
当sin($α+\frac{π}{4}$)=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$时,
∴cos2α=sin(2α+$\frac{π}{2}$)=2sin($α+\frac{π}{4}$)cos($α+\frac{π}{4}$)=2×$(-\frac{\sqrt{14}}{4})×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$-\frac{\sqrt{7}}{4}$,
sinα+cosα=$\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})$=$\sqrt{2}×(-\frac{\sqrt{14}}{4})$=$-\frac{\sqrt{7}}{2}$,
∴$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{2}$;
当sin($α+\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{14}}{4}$时,
∴cos2α=sin(2α+$\frac{π}{2}$)=2sin($α+\frac{π}{4}$)cos($α+\frac{π}{4}$)=2×$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}$,
sinα+cosα=$\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}$,
∴$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{2}$.
综上,$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{2}$;
法二、$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{cosα+sinα}$=$\frac{(cosα+sinα)(cosα-sinα)}{cosα+sinα}$
=cosα-sinα=$\sqrt{2}cos(α+\frac{π}{4})$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查同角三角函数基本关系式的应用,考查了学生的灵活变形能力,是基础题.