题目内容

17.在△ABC中,已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$若cosA=$\frac{4}{5}$,则tanB=-$\frac{3}{2}$.

分析 设△ABC的三边分别是a,b,c,运用向量数量积的定义和正弦定理,结合同角的平方关系和商数关系,化简即可得到所求值.

解答 解:设△ABC的三边分别是a,b,c,
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$,可得
cbcosA=-2cacosB,
由正弦定理可得,sinBcosA=-2sinAcosB,
则tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=-$\frac{2sinA}{cosA}$=-2tanA,
由cosA=$\frac{4}{5}$,可得sinA=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$,
则tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{3}{4}$,
即有tanB=-$\frac{3}{2}$.
故答案为:-$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查向量的数量积的定义和正弦定理的运用,考查三角函数的化简和求值,属于中档题.

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