Question

2．已知圆C：（x+4）²+y²=16和点F（-6，0），G是圆C上任意一点．
（1）若直线FG与直线l：x=-4交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（2）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出G的坐标，和直线FG的方程，利用直线和圆相交的弦长公式进行求解即可；
（2）设出P的坐标，利用两点间的距离公式，利用条件$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）由题意，设G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y_G=±$\sqrt{15}$，
所以FG的斜率为k=±$\sqrt{15}$，FG的方程为y=±$\sqrt{15}$（x+6）．
所以C（-4，0）到FG的距离为d=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
直线FG被圆C截得的弦长为2$\sqrt{16-（\frac{\sqrt{15}}{2}）^{2}}$=7．…5分
（2）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$得$\frac{\sqrt{（{x}_{0}+6）^{2}+{y}_{0}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{0}-s）^{2}+（{y}_{0}-t）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
整理得3（${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，①
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$+8x₀=0，②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知$\left\{\begin{array}{l}2s+24=0\\ 2t=0\\ 144-{s}^{2}-{t}^{2}=0\end{array}\right.$解得s=-12，t=0，
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0）.12分．

点评 本题主要考查直线和圆的应用，利用直线和圆相交的弦长公式以及两点间的距离公式解决本题的关键．