题目内容
7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为（ ）| A． | 2 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 1 | D． | $\sqrt{3}$ |
分析 首先明确∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．然后解三角形，求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值
解答 解：连接C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
又EF?平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，tan∠B1A1C=$\frac{{B}_{1}C}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\sqrt{2}$．
∴A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为$\sqrt{2}$；
故选：B
点评 本题考查直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，关键是将空间角转化为平面角解答；考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题
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| A． | （-∞，$\frac{1}{2}$） | B． | （$\frac{1}{2}$，+∞） | C． | （-1，1） | D． | （-∞，$\frac{1}{3}$） |
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