Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE= ，BC= ，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM= CF．
（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2， 即VF﹣ABCD= ，∴FG= ．
又BC=EF= ，∴EG= ，即点G是靠近点A的四等分点．
过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK= ．
又MF= ，∴MF=GK且MF∥GK．
四边形MFKG为平行四边形，
∴GM∥FK，
∴直线GM∥平面DEF；
（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，
过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
A（0，﹣1，0），B（ ，0，0），F（0，﹣ ， ），M（ ）．
， ， ．
设平面ABM，ABF的法向量分别为 ， ．
由 ，则 ，取y=﹣ ，得 ，
同理求得 ．
∴cos＜ ＞= ，
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK= ．又MF= ，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．