Question

2．已知x满足-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$，f（x）=log₂$\frac{x}{4}$log₂$\frac{x}{2}$，
（1）令t=log₂x，求t的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值及相对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$，先确定x的范围，进而可得t=log₂x的取值范围；
（2）结合（1）可得y=f（x）=log₂$\frac{x}{4}$log₂$\frac{x}{2}$=t²-3t+2，t∈[-$\frac{1}{2}$，3]，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）∵-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤$\frac{1}{2}$，
∴x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，8]，
又∵t=log₂x，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$，3]，
（2）∵f（x）=log₂$\frac{x}{4}$log₂$\frac{x}{2}$=（log₂x-2）（（log₂x-1）=（t-2）（t-1）=t²-3t+2，t∈[-$\frac{1}{2}$，3]，
由函数y=t²-3t+2的图象是开口朝上，且以直线t=$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\frac{3}{2}$时，f（x）取最小值-$\frac{1}{4}$，
当t=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取最大值$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．