Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-n-30．
（1）求数列的前三项，60是此数列的第几项．
（2）n为何值时，a_n=0，a_n＞0，a_n＜0．
（3）该数列前n项和S_n是否存在最值？说明理由．

Answer 1

分析：（1）设a_n=60，则60=n²-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．由此可知60是此数列的第10项．
（2）令n²-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．a₆=0．令n²-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．由此可知当0＜n＜6（n∈N^*）时，a_n＜0．
（3）由a_n=n²-n-30=（n-

1

2

）²-30

1

4

，n∈N^*，知{a_n}是递增数列，故S_n存在最小值S₅=S₆，S_n不存在最大值．

解答：解：（1）由a_n=n²-n-30，得
a₁=1-1-30=-30，
a₂=2²-2-30=-28，
a₃=3²-3-30=-24．
设a_n=60，则60=n²-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．
∴60是此数列的第10项．
（2）令n²-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．
∴a₆=0．
令n²-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．
∴当n＞6（n∈N^*）时，a_n＞0．
令n²-n-30＜0，解得-5＜n＜6．
又n∈N^*，∴0＜n＜6．
∴当0＜n＜6（n∈N^*）时，a_n＜0．
（3）由a_n=n²-n-30=（n-

1

2

）²-30

1

4

，n∈N^*，
知{a_n}是递增数列，
且a₁＜a₂＜＜a₅＜a₆=0＜a₇＜a₈＜a₉＜，
故S_n存在最小值S₅=S₆，S_n不存在最大值．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．