Question

19．函数y=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}-5}{3x+3}$的值域是{y|y$≥\frac{5+2\sqrt{22}}{9}$，或y$≤\frac{5-2\sqrt{22}}{9}$}．

Answer 1

分析 换元x=2sinθ，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，则$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosθ，得出y=$\frac{2cosθ-5}{6sinθ+3}$，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
利用三角函数的有解性得出不等式$\frac{|-5-3y|}{\sqrt{36{y}^{2}+4}}$≤1，求解即可．

解答 解：函数y=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}-5}{3x+3}$，
设x=2sinθ，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
则$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosθ，
∴y=$\frac{2cosθ-5}{6sinθ+3}$，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
6ysinθ-2cosθ=-5-3y，
即$\frac{|-5-3y|}{\sqrt{36{y}^{2}+4}}$≤1，
25+30y+9y²≤36y²+4，
27y²-30y-21≥0，
9y²-10y-7≥0，
即y$≥\frac{5+2\sqrt{22}}{9}$，或y$≤\frac{5-2\sqrt{22}}{9}$，
值域为：{y|y$≥\frac{5+2\sqrt{22}}{9}$，或y$≤\frac{5-2\sqrt{22}}{9}$}
故答案：{y|y$≥\frac{5+2\sqrt{22}}{9}$，或y$≤\frac{5-2\sqrt{22}}{9}$}

点评 本题考查了运用三角换元的方法求解函数的值域，注意三角函数的有界性，得出不等式，计算较麻烦，属于中档题．