题目内容
14．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2-nan+1，令bn=$\frac{1}{a{\;}_{n}•a{\;}_{n+1}}$，则数列{bn}的前10项和为$\frac{5}{12}$．分析 a1=2，an+1=an2-nan+1，变形为an+1-（n+2）=[an-（n+1）]（an+1），由于an+1≠0，可得an=n+1．再利用“裂项求和”即可得出．
解答 解：∵a1=2，an+1=an2-nan+1，
∴an+1-（n+2）=[an-（n+1）]（an+1），
由于an+1≠0，可得an=n+1．
∴bn=$\frac{1}{a{\;}_{n}•a{\;}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{bn}的前n项和Sn=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．
∴S10=$\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$．
故答案为：$\frac{5}{12}$．
点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推式的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | {1} | B． | {0，1} | C． | {-1，0，2} | D． | {-1，0，1，2} |
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=2，∠PCD=45°，E是PC的中点．
如图，已知四边形ABCD，EADM，MDCF都是边长为2的正方形，点P，Q分别是ED，AC的中点．
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| A． | $\frac{π}{8}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{3π}{8}$ | D． | $\frac{3π}{4}$ |