Question

【题目】（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－2（a＋1）x＋2alnx（a>0）．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝－3；

（2）当0<a<1时，f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；当a＝1时，f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；当a>1时，f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）．

（3）a≥．

【解析】

试题分析：（1）求出a=1时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2）对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区间端点的位置关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性；（3）恒成立问题常转化为最值计算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以只需令区间端点对应的函数值小于等于零求解即可。

试题解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx，

∴f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为y＝－3．

（2）f ′（x）＝（x>0），

令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，

当0<a<1时，在x∈（0，a）或x∈（1，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（a，1）时，f ′（x）<0，∴f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；当a＝1时，f ′（x）＝≥0，∴f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；当a>1时，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（1，a）时，f ′（x）<0，∴f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）．

（3）由（2）可知，f（x）在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f（x）在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f（1）＝1－2（a＋1）≤0且f（e）＝e2－2（a＋1）e＋2a≤0，解得a≥．