Question

【题目】一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．

（Ⅰ）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；

（Ⅱ）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．

（1）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；

（2）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（Ⅰ）先求三棱柱的高，底面积,再求三棱柱的容积V和函数的定义域. （Ⅱ）(1) 此时，而相应棱柱的高，再求侧面积.(2)先求得 正三棱柱的高为，底面正三角形的内切圆半径为，再分析得到球体体积最大时，其直径应与高相等，即得球体半径和该金属球体的最大体积．

（Ⅰ）结合平面图形数据及三棱柱直观图，易求得：

三棱柱的高，其底面积

则三棱柱容器的容积

即所求函数关系式为．

（Ⅱ）（1）此时，而相应棱柱的高，

故（注：侧面积求法不唯一）

（2）结合底面边长和棱柱的高的数据可得：

①该正三棱柱的高为；②底面正三角形的内切圆半径为，

由此易知球体体积最大时，其直径应与高相等，则球体半径，

故球体最大体积