Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5﹣x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2，

①当x≥ 时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2，

②当1＜x＜ 时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0．

③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤ ．

∴综上，原不等式解集为{x|x≤ 或x≥2}

（2）解：即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立

令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|= ，

则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，

故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，

数形结合可得 ≥3，

∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）

【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．