题目内容

【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|.
(1)当a=3时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≥5﹣x对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:a=3时,即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2,

①当x≥ 时,不等式即2x﹣3+x﹣1≥2,解得x≥2,

②当1<x< 时,不等式即3﹣2x+x﹣1≥2,解得x<0.

③当x≤1时,3﹣2x+1﹣x≥2,解得2x≤2,即x≤

∴综上,原不等式解集为{x|x≤ 或x≥2}


(2)解:即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立

令g(x)=5﹣x﹣|x﹣1|=

则由函数g(x)的图象可得它的最大值为4,

故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g(x)的图象的上方,

数形结合可得 ≥3,

∴a≥6,即a的范围是[6,+∞)


【解析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)令g(x)=5﹣x﹣|x﹣1|,求出g(x)的最大值,从而求出a的范围即可.

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