Question

已知定点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，2），动点P满足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2．
（1）求动点P轨迹M的方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当k=2时：
①E是x轴上的动点，EK，EQ分别切曲线M于K，Q两点，如果|KQ|=

4 5

5

，求线段KQ的垂直平分线方程；
②若E点在△ABC边上运动，EK，EQ分别切曲线M于K，Q两点，求四边形DKEQ的面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设出P的坐标（x，y）；可得则

AP

、

BP

、

PC

的坐标，代入

AP

•

BP

=k|

PC

|2中，可得（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；分K=1与k≠1两种情况讨论，可得答案．
（2）①根据题意k=2，代入（1）的方程可得x²+（y-2）²=1，进而|DN|=

5

5

，结合射影定理计算可得|DE|=

5

，在Rt△DOE中，由|OE|=1，得E的坐标，又由ED⊥KQ且平分KQ，由直线的点斜式方程可得答案；
②由（1）可得线段BC、AC的方程，按E的在△ABC的三边上不同位置，不同分3种情况讨论；求出S_DKEQ的范围，综合可得答案．

解答：解：（1）设动点坐标为P（x，y），
则

AP

=（x-1，y），

BP

=（x+1，y），

PC

=（x，1-y）；
因为

AP

•

BP

=k|

PC

|2，所以x²+y²-1=K[x²+（y-1）²]；
整理得：（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；
若k=1，则方程为y=1，表示过点（0，1）且平行与x轴的直线，
若k≠1，则方程化为x²+（y-

k

k-1

）²=（

1

k-1

）²，表示以（0，

k

k-1

）为圆心，|

1

k-1

|为半径的圆．
（2）①因为k=2，所以方程为x²+（y-2）²=1，圆心为D，如图，
由|KQ|=

4 5

5

可得|DN|=

5

5

，
由射影定理可得|DQ|2=|DN||DE，得|DE|=

5

，
在Rt△DOE中，|OE|=1，得E（1，0）（-1，0），
ED⊥KQ且平分KQ，所以DE的方程为2x+y-2=0或2x-y+1=0（0＜y＜1）；
②L_BC：x+y-1=0（0＜y＜1），L_AC：x-y+1=0（0＜y＜1），
当E（a，b）在线段AC上运动时，
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE=

a2+(b-2)2-1

=

2b2-6b+4

（0＜b＜1），
所以0＜S_DKEQ＜2，
同理，当E（a，b）在线段BC上运动时，0＜S_DKEQ＜2
当E（a，b）在线段BC上运动时，E（a，0）（-1≤a≤1），
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE=

a2+3

（-1≤a≤1），
所以

3

≤S_DKEQ≤2，
综上可得，0≤S_DKEQ≤2．

点评：本题考查直线与圆的方程的综合运用，是解析几何中典型题目，有一定的难度；解题时，要注意不能遗漏对特殊情况的讨论，如本题（1）中对k=1的讨论．