Question

【题目】已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）满足要求的为.

【解析】

（1）由当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可求得an＝2an﹣1，则数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由．采用“累乘法”即可求得当n≥2时，bn+1﹣bn﹣1＝2，数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，即可求得数列{an}、{bn}的通项公式；

（3）设cn，作差比较大小，cn＞cn+1＞1，根据数列的单调性，即可求得存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3．

（1）由Sn＝2an﹣2，则当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，

两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，则an＝2an﹣1，

由S1＝2a1﹣2，则a1＝2，

∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2n，

（2）由．

则，，，…，．

以上各式相乘，，则2Tn＝bnbn+1，

当n≥2时，2Tn﹣1＝bn﹣1bn，两式相减得：2bn＝bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1＝2，

∴数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，

由，则b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，

∴数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，

∴数列{bn}的通项公式bn＝n；

（3）当n＝1时，无意义，

设cn，（n≥2，n∈N*），

则cn+1﹣cn0，

即cn＞cn+1＞1，

显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2＝7＞c3＝3＞c4＞…＞1，

∴存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3，

下面证明不存在c2＝2，否则，cn2，即2n＝3（n+1），

此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，

综上，满足要求的bn为b3，b7．