题目内容
【题目】证明:1﹣ ≤ln(x+1)≤x,其中x>﹣1.
【答案】证明:①构造函数f(x)=ln(x+1)﹣x, ∵f′(x)= ,(x>﹣1),当x=0,f′(0)=0,得下表
X | ﹣1<x<0 | 0 | x>0 |
f′(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递增 | 极大值f(0)=0 | 单调递减 |
∴x>﹣1总有f(x)≤f(0)=0,∴ln(x+1)﹣x≤0,∴ln(x+1)≤x;
②构造函数g(x)=ln(x+1)+ ﹣1,∵g′(x)= ,
当x=0,g′(0)=0,当﹣1<x<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x>0,g′(x)>0,g(x)单调递增;∴x=0,g(x)极小值=g(x)min=g(0)=0,
∴x>﹣1时,总有g(x)≥g(0)=0,∴ln(x+1)+ ﹣1≥0,
即:1﹣ ≤ln(1+x),
综上①②不等式1﹣ ≤ln(x+1)≤x成立
【解析】分别构造函数f(x)=ln(x+1)﹣x,g(x)=ln(x+1)+ ﹣1,根据函数的单调性求出函数的最值,从而证出结论.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
【题目】宿州市某登山爱好者为了解山高y(百米)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表,由表中数据,得到线性回归方程为y=﹣2x+a,由此估计山高为72(百米)处的气温为( )
气温x(℃) | 18 | 13 | 10 | ﹣1 |
山高y(百米) | 24 | 34 | 38 | 64 |
A.﹣10
B.﹣8
C.﹣6
D.﹣4