Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知C1： （θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（ cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把C1： （θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，

故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．

再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为 + =1，即 + =1．

故曲线C2的极参数方程为 （θ为参数）

（2）解：直线l：ρ（ cosθ+sinθ）=4，即 x+y﹣4=0，设点P（ cosθ，2sinθ），

则点P到直线的距离为d= = ，

故当sin（θ+ ）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+ ，k∈z，点P（1， ），

故曲线C2上有一点P（1， ）满足到直线l的距离的最小值为 ﹣

【解析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（ cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d= ，故当sin（θ+ ）=1时，即θ=2kπ+ ，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值