Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{4}$，sin$\frac{3x}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$），-sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$））；令f（x）=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²．
（1）求f（x）解析式及单调递增区间；
（2）若f（x）=$\frac{5}{2}$，求sin（x-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的模的公式和向量的数量积的坐标表示，结合两角和的余弦公式，可得f（x）的解析式，再由余弦函数的增区间，可得单调增区间；
（2）运用-α、$\frac{π}{2}-α$的诱导公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{4}$，sin$\frac{3x}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$），-sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）），
则|$\overrightarrow{a}$|²=cos²$\frac{3x}{4}$+sin²$\frac{3x}{4}$=1，|$\overrightarrow{b}$|²=cos²（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）+sin²（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）=1，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{4}$cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）-sin$\frac{3x}{4}$sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）=cos（x+$\frac{π}{3}$），
则f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+2cos（x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-π≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，解得2kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
则f（x）的增区间为[2kπ-$\frac{4π}{3}$，2kπ-$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（2）若f（x）=$\frac{5}{2}$，则2+2cos（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{2}$，
即有cos（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
则sin（x-$\frac{π}{6}$）=sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{2}$）
=-sin[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{3}$）]=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，同时考查两角和的余弦公式和诱导公式的运用，以及余弦函数的单调区间的运用，属于中档题．