Question

20．已知命题p：“方程x²-ax+a+3=0有解”，q：“$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$-a≥0在[0，+∞）上恒成立”，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程x²-ax+a+3=0有解，可得△≥0，解得a的取值范围．命题q$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$-a≥0在[0，+∞）上恒成立，即a≤$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，解得a的取值范围．由于p或q为真命题，p且q为假命题，命题p与q一真一假，分别求出，即可得到a的取值范围

解答 解：命题p：方程x²-ax+a+3=0有解，可得，△=a²-4a-12≥0，解得a≤-2或a≥6．
命题q：“$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$-a≥0在[0，+∞）上恒成立，a≤$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，设f（x）=$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，因为f（x）在[0，+∞）为减函数，
所以f（x）＞0，
解得a≤0．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴命题p与q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥6}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得a≥6，
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜6}\\{a≤0}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤0，
综上实数a的取值范围是（-2，0]∪[6，+∞）．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、函数恒成立的问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．