Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M为AA₁上的点，且AM=2MA₁，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为4

2

，设这条最短路线与C₁C的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2） PC和NC的长；
（3）此棱柱的表面积；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．

Answer 1

分析：（1）直接求解三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）利用侧面展开图，MP₁就是由点P沿棱侧面经过CC₁到点M的最短路线．设PC=x，通过解三角形求出 PC和NC的长；
（3）直接求出底面面积，侧面面积即可得到此棱柱的表面积；
（4）连接PP₁说明∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角，求出平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．

解答：解：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为6的矩形，
其对角线长为

92+62

=

117

=3

13

；（3分）
（2）如图1，将侧面BC₁旋转120°使其与侧面AC₁在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱侧面经过CC₁到点M的最短路线．设PC=x，
则P₁C=x，在Rt△MAP₁中，（3+x）²+4²=32?x=1，

NC

MA

=

P1C

P1A

=

1

4

，∴NC=1（6分）
（3）棱柱的表面积为S表=S侧+2S底=6×9+2×

1

2

×32sin600=54+

9 3

2

．（8分）
（4）连接PP₁（如图2），则PP₁就是NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP₁
∴∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角．（10分）
在Rt△PHC中，∵∠PCH=

1

2

∠PCP1=60°，
∴CH=

1

2

，在Rt△NCH中tan∠NHC=

NC

CH

=

2

3

，
即∠NHC=arctan

2

3

．（12分）

点评：本题考查转化思想的应用，空间几何问题常转化为平面几何问题解决，即空间问题平面化，要注意线线、线面、面面的平行、垂直关系的转化．求角与距离的关键是把距离与角转化为平面内的角与距离．
空间几何中的角有三类：1、两条异面直线所成的角：定义（略），范围：（0⁰，90⁰]；
求法：平移--构成三角形，（一般是，见了中点找中点，形成中位线）；2、直线与平面所成的角：
定义（略），范围：[0⁰，90⁰]，求法：找射影--构成直角三角形．（一般是，作垂线，连垂足与斜足即射影，斜线，这三条线组成直角三角形）；3、二面角：定义（略），范围：[0⁰，180⁰]，求法：找平面角，具体方法有四种：（1）定义法；（2）三垂线法；（3）垂面法；（4）射影面积法．