Question

7．向量|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{2}$，且向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，向量$\overrightarrow{OC}$与向量$\overrightarrow{OA}$和向量$\overrightarrow{OB}$的夹角都为$\frac{π}{3}$，且$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{OA}$$+n\overrightarrow{OB}$，则$\frac{m}{n}$的值为 （　　）

• A． 1
• B． ±1
• C． $\sqrt{2}$
• D． ±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图所示，则有|$\overrightarrow{OA′}$|=|$\overrightarrow{OB′}$|=|$\overrightarrow{OC′}$|=1，又$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{OA}$$+n\overrightarrow{OB}$，可得m|$\overrightarrow{OA}$|=n|$\overrightarrow{OB}$|，即m=$\sqrt{2}$n，由此求得 $\frac{m}{n}$的值．

解答 解：如图所示：由向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，向量$\overrightarrow{OC}$与向量$\overrightarrow{OA}$和向量$\overrightarrow{OB}$的夹角都为$\frac{π}{3}$，
则有|$\overrightarrow{OA′}$|=|$\overrightarrow{OB′}$|=|$\overrightarrow{OC′}$|=1，又$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{OA}$$+n\overrightarrow{OB}$，∴m|$\overrightarrow{OA}$|=n|$\overrightarrow{OB}$|，即m=$\sqrt{2}$n，∴$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．