Question

13．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{11π}{12}]$的简图；
（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（Ⅲ）若$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用五点法，即将2x+$\frac{π}{6}$看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；
（Ⅱ）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；
（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+m，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求此函数的最值可先将2x+$\frac{π}{6}$看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值．

解答 解：（Ⅰ）先列表，再描点连线，可得简图．

x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{2π}{12}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{8π}{12}$	$\frac{11π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
sin（2x+$\frac{π}{6}$）	0	1	0	-1	0
y	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

（Ⅱ）y=sinx向左平移$\frac{π}{6}$得到y=sin（x+$\frac{π}{6}$），
再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的$\frac{1}{2}$变为y=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
最后再向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+m，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）∈[m，$\frac{3}{2}$+m]，
∴m=2，
∴gmax（x）=$\frac{3}{2}$+m=$\frac{7}{2}$，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$时g（x）最大，最大值为$\frac{7}{2}$．

点评 本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．