题目内容
13.已知数列{an},a1=2,当n≥2时,an=2an-1+3•2n-1(1)求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}及数列{an}的通项公式;
(2)令cn=2an-3•2n,设Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.
分析 (1)对等式同除以2n,再由等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)化简cn,再由数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简即可得到所求.
解答 解:(1)a1=2,当n≥2时,an=2an-1+3•2n-1
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{2}$,
则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项,$\frac{3}{2}$为公差的等差数列,
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$(n-1)=$\frac{3n-1}{2}$,
即有an=(3n-1)•2n-1;
(2)cn=2an-3•2n=(3n-4)•2n;
Tn=(-1)•2+2•22+5•23+…+(3n-4)•2n,
2Tn=(-1)•22+2•23+5•24+…+(3n-4)•2n+1,
两式相减可得,-Tn=-2+3(22+23+24+…+2n)-(3n-4)•2n+1
=-2+3•$\frac{4(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(3n-4)•2n+1,
化简可得Tn=14+(3n-7)•2n+1.
点评 本题考查等差数列的定义和通项公式以及等比数列的求和的运用,考查数列的求和方法:错位相减法,考查运算化简能力,属于中档题.
练习册系列答案
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