Question

8．求下列函数的定义域：
（1）y=log_x+1（16-4^x）
（2）y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}}{lg{（x}^{2}+2x-3）}$；
（3）y=$\sqrt{1-lo{g}_{a}（x-a）}$．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x+1≠1}\\{16-{4}^{x}＞0}\end{array}\right.$，从而求定义域；
（2）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4≥0}\\{{x}^{2}+2x-3＞0}\\{{x}^{2}+2x-3≠1}\end{array}\right.$，从而求定义域；
（3）由题意得1-log_a（x-a）≥0，从而讨论求定义域．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x+1≠1}\\{16-{4}^{x}＞0}\end{array}\right.$，
解得，-1＜x＜2，且x≠0；
故函数y=log_x+1（16-4^x）的定义域为（-1，0）∪（0，2）；
（2）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4≥0}\\{{x}^{2}+2x-3＞0}\\{{x}^{2}+2x-3≠1}\end{array}\right.$，
解得，x＜-1-$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$＜x＜-3或x≥2；
故函数y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}}{lg{（x}^{2}+2x-3）}$的定义域为（-∞，-1-$\sqrt{5}$）∪（-1-$\sqrt{5}$，-3）∪[2，+∞）；
（3）由题意得，1-log_a（x-a）≥0，
log_a（x-a）≤1，
①当0＜a＜1时，
x-a≥a，
解得，x≥2a；
故函数y=$\sqrt{1-lo{g}_{a}（x-a）}$的定义域为[2a，+∞）；
②当a＞1时，
0＜x-a≤a，
∴a＜x≤2a；
故函数y=$\sqrt{1-lo{g}_{a}（x-a）}$的定义域为（a，2a]．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及分类讨论的思想的应用．