题目内容
【题目】已知数列中,
,且
对任意正整数
都成立,数列
的前
项和为
.
(1)若,且
,求
;
(2)是否存在实数k,使数列是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项
按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求
.
【答案】(1) ;(2) 满足要求的实数
有且仅有一个,
;(3)
.
【解析】
(1)先根据等差中项判定数列类型,再求解的值;(2)假设存在
满足后,先计算
通项公式,再考虑相邻三项排列后成等差数然后计算
的值,注意分类;(3)先化简递推公式,根据递推公式进行奇偶分项讨论.
(1)时,
,
,
所以数列是等差数列,
此时首项,公差
,
数列的前
项和是
,
故,得
;
(2)设数列是等比数列,则它的公比
,
所以,
,
,
①若为等差中项,则
,即
,
解得,不合题意;
②若为等差中项,则
,即
,
化简得:,
解得,
(舍去);
;
③若为等差中项,则
,即
,
化简得:,解得
;
;
综上可得,满足要求的实数有且仅有一个,
;
(3)则
,
,
,
当是偶数时,
,
当是奇数时,
,
也适合上式,
综上可得,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某高三理科班共有60名同学参加某次考试,从中随机挑选出5名同学,他们的数学成绩与物理成绩
如下表:
数学成绩 | 145 | 130 | 120 | 105 | 100 |
物理成绩 | 110 | 90 | 102 | 78 | 70 |
数据表明与
之间有较强的线性关系.
(I)求关于
的线性回归方程;
(II)该班一名同学的数学成绩为110分,利用(I)中的回归方程,估计该同学的物理成绩;
(III)本次考试中,规定数学成绩达到125分为优秀,物理成绩达到100分为优秀. 若
该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%,且除去抽走的5名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人,在答卷页上填写下面2×2列联表,判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?
物理优秀 | 物理不优秀 | 合计 | |
数学优秀 | |||
数学不优秀 | |||
合计 | 60 |
参考数据:回归直线的系数
,
,