Question

16．设函数f（x）=$\overrightarrow a•（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）$，其中向量$\overrightarrow a=（{sinx，-cosx}）$，$\overrightarrow b=（{sinx，-3cosx}）$，$\overrightarrow c=（{-cosx，sinx}）$，x∈R
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）当$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$时，方程f（x）+m-2=0有且仅有一个根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出；
（2）当$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$时，$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$．可得f（x）在$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$时单调递增，即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow a•（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）$=sinx（sinx-cosx）-cosx（sinx-3cosx）
=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=-sin2x+cos2x+2
=-$\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$+2，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调减区间是$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）．
（2）当$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$时，$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$．
∴f（x）在$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$时单调递增，
∵方程f（x）+m-2=0有且仅有一个根，
∴（2-m）∈$[2-\sqrt{2}，3]$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．