Question

8．某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10%，现对10000只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡，有3种方案：①逐只化验；②按40只鸡一组分组，并把同组的40只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组40只鸡逐只化验；③将②中的40只一组改为4只一组再做．问：哪种方案化验次数的期望值较小？

Answer 1

分析 对于方案①，要化验10000次；对于方案②，将10000只鸡分为250组，每组40只，设X为40只鸡中病鸡数，则X～B（40，0.1），由此能求出10000只鸡的期望化验次数；对于方案③，将10000只鸡分成2500组，每组4只，设M为4只鸡中的病鸡数，则M～B（4，0.1），由此能求出10000只鸡的期望化验次数．从而能求出方案③的化验次数的期望值较小．

解答 解：对于方案①，要化验10000次，
对于方案②，将10000只鸡分为250组，每组40只，
设X为40只鸡中病鸡数，则X～B（40，0.1），
∴40只鸡中无病鸡的概率为0.9⁴⁰，这时化验一次；
若40只鸡中有病鸡，其概率为1-0.9⁴⁰，则化验41次，
设Y为40只鸡中化验的次数，则Y为40只鸡中化验的次数，
则Y的概率分布为：

Y	1	41
P	0.940	1-0.940

∴E（Y）=0.9⁴⁰+41×（1-0.9⁴⁰）≈40.4088，
从而10000只鸡的期望化验次数为40.4088×250≈10102（次），
对于方案③，将10000只鸡分成2500组，
每组4只，设M为4只鸡中的病鸡数，则M～B（4，0.1），
则4只鸡中无病鸡的概率为0.9⁴，这时化验1次，
若4只鸡中有病鸡，其概率为1-0.9⁴，则化验5次，
设N为4只鸡中化验的次数，则N的概率分布列为：

N	1	41
P	0.94	1-0.94

∴E（N）=0.9⁴+5×（1-0.9⁴）≈2.3756．
从而10000只鸡的期望化验次数为：
2.375×2500≈5939（次），
∴方案③的化验次数的期望值较小．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．