Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在b_n表达式中取n=3，结合等差数列的通项公式解出公差d，从而得出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式，再代入b_n=a_na_n+1 ，得出数列{b_n}的通项公式，最后用等比数列求和公式算出结果；
（Ⅲ）先假设命题正确，再利用数列{a_n}的前3项得出矛盾，从而说明，数列{a_n}不能为等比数列．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列a₁=1，a₂=a，b_n=a_na_n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=-

11

6

又因a=a₁+d=1+d＞0得d＞-1
∴d=1
∴a_n=n（4分）
（Ⅱ）{a_n}是等比数列，首项a₁=1，a₂=a，故公比q=

a2

a1

=a，
所以a_n=a^n-1，代入{b_n}的表达式得
b_n=a_na_n+1=a^2n-1，可得

bn+1

bn

=

a2n+1

a2n-1

=a2
∴数列{b_n}是以a为首项，公比为 a²的等比数列

故S_n=

n a(a2n-1) a2-1

a=1 a≠1

（5分）
（Ⅲ）{a_n}不能为等比数列，理由如下：
∵b_n=a_na_n+1，{b_n}是公比为a-1的等比数列
∴

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=a-1
∴n=1时，有

a3

a1

=a₃=a-1
假设{a_n}为等比数列，由a₁=1，a₂=a得a₃=a²，所以a²=a-1
因此此方程无解，所以数列一定不能等比数列．（14分）

点评：抓住等差数列的首项和公差，等比数列的首项和公比是解决这类问题的关键，求等比数列的前n项和注意公比能不能等于1的分类讨论．