Question

（2008•黄冈模拟）把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设a_ij是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
（Ⅰ）若a_mn=2007，求m，n的值；
（Ⅱ）已知函数f（x）的反函数f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0）为，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，三角形数表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

个数，第m行最后一个数应当是所给奇数列中第

m(m+1)

2

项，由a_mn=2007的m是不等式m²+m-1≥2007的最小正整数解可求得m=45，从而可求得n的值；
（Ⅱ）利用反函数的概念，可求得f（x）=(

1

2

)n

3	x

（x＞0），继而可求得b_n=n³，于是可求f（b_n）=(

1

2

)n

3	n3

=n•(

1

2

)n，利用错位相减法即可求得数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵三角形数表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

个数，
∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中第

m(m+1)

2

项，即2•

m(m+1)

2

-1=m²+m-1．
因此，使得a_mn=2007的m是不等式m²+m-1≥2007的最小正整数解．
由m²+m-1≥2007得m²+m-2008≥0，
∴m≥

-1+ 1+8032

2

＞

-1+ 7921

2

=44．
∴m=45．
第45行第一个数是44²+44-1+2=1981，
∴n=

2007-1981

2

+1=14．
（Ⅱ）∵f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0），
∴f（x）=(

1

2

)n

3	x

（x＞0）．
∵第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，若n²+n-1将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，
故b_n=n（n²+n-1）+（-2）•

n(n-1)

2

=n³．
∴f（b_n）=(

1

2

)n

3	n3

=n•(

1

2

)n．
故S_n=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，①
∴

1

2

S_n=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
=1-（n+2）•(

1

2

)n+1，
∴S_n=2-（n+2）•(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的求和，着重考查分析与推理，考查反函数与错位相减法求和的综合应用，属于难题．