Question

（2008•黄冈模拟）已知直线x+y-1=0与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，

AM

=-

BM

，且点M在直线l：y=

1

2

x上，
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题中的直线方程与椭圆联解消去y，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，由根与系数的关系得x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，进而得到y₁+y₂=

2b2

a2+b2

，因此算出AB中点M（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

），根据点M在直线y=

1

2

x上建立关系式得到a²=2b²，由此即可算出该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）的结论，设椭圆的一个焦点F（b，0）关于直线l：y=

1

2

x的对称点为Q（x₀，y₀），根据PQ被直线l垂直且平分建立方程组，解之得到x₀=

3b

5

且y₀=

4b

5

，结合点Q在单位圆上，得到关于b的方程并解之得b=1，由此即可得到所求椭圆方程．

解答：解：设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
（ 1）由

AM

=-

BM

，可得M是AB的中点，…（1分）
由

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0…（4分）
∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，可得y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=2-

2a2

a2+b2

=

2b2

a2+b2

…（5分）
因此，点M的坐标为（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）
又∵点M在直线l：y=

1

2

x上，∴

b2

a2+b2

=

1

2

×

a2

a2+b2

…（6分）
化简得a²=2b²=2（a²-c²），可得a=

2

c，所以椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

…（7分）
（2）由（1）得b=c，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F（b，0）
设F（b，0）关于直线 l：y=

1

2

x的对称点为Q（x₀，y₀），…（8分）
则

y0-0 x0-b × 1 2 =-1 x0+b 2 -2× y0  2 =0

，解之得：

x0= 3b 5 y0= 4b 5

…（11分）
结合已知x02+y02=1，可得(

3b

5

)2+(

4b

5

)2=1，解之得b=1（舍负）…（13分）
因此，所求的椭圆的方程为

x2

2

+y2=1…（14分）

点评：本题给出直线与椭圆相交，在已知截得弦的中点在定直线上时，求椭圆的方程，并依此求椭圆焦点关于定直线的对称点在单位圆上的问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线的对称点的求法和直线与圆锥曲线位置关系等知识点，属于中档题．