题目内容
【题目】己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn= 
（1）求证：数列{ 
}为等比数列；
（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：
（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ， 对任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．
【答案】
（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，
∴ 
= 
an+1，即 
=2 
，
∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得： = 
，∴ 
=n 
4n﹣1．
∵bn= 
，∴b1= 
，b2= 
，b3= 
，
∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，
∴ 
= + 
，
化为：16t=t2+48，解得t=12或4
（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．
①t=12时，bn= 
= 
，Sn= 
，
∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，
∴8 × 
﹣a14n2=16× 
，
∴ 
= 
，n=1时，化为：﹣ 
= ＞0，无解，舍去．
②t=4时，bn= 
= 
，Sn= 
，
对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，
∴8 × ﹣a14n2=16× ，
∴n =4m，
∴a1=2 
．∵a1为正整数，∴ = 
k，k∈N*．
∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}．
【解析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为： =2× ，即可证明．（2）由（1）可得： = ，可得 =n 4n﹣1 ． 数列{bn}满足bn= ，可得b1 ， b2 ， b3 ， 利用数列{bn}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm ， 即可得出a1 ．
【考点精析】利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：
；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
．
