题目内容

【题目】己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=
(1)求证:数列{ }为等比数列;
(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:
(3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn , 对任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.

【答案】
(1)证明:数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,

= an+1,即 =2

∴数列{ }是以a1为首项,以2为公比的等比数列


(2)解:由(1)可得: = ,∴ =n 4n1

∵bn= ,∴b1= ,b2= ,b3=

∵数列{bn}是等差数列,∴2× = +

= +

化为:16t=t2+48,解得t=12或4


(3)解:数列{bn}是等差数列,由(2)可得:t=12或4.

①t=12时,bn= = ,Sn=

∵对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

∴8 × ﹣a14n2=16×

= ,n=1时,化为:﹣ = >0,无解,舍去.

②t=4时,bn= = ,Sn=

对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

∴8 × ﹣a14n2=16×

∴n =4m,

∴a1=2 .∵a1为正整数,∴ = k,k∈N*

∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ,n∈N*,m∈N*,且 = k,k∈N*}.


【解析】(1)数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,化为: =2× ,即可证明.(2)由(1)可得: = ,可得 =n 4n1 . 数列{bn}满足bn= ,可得b1 , b2 , b3 , 利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值,化简8a12Sn﹣a14n2=16bm , 即可得出a1
【考点精析】利用等比数列的通项公式(及其变式)和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案,需要熟知通项公式:;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系

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