题目内容
定义:若函数对于其定义域内的某一数
,有
,则称
是
的一个不动点. 已知函数
.
(1)当,
时,求函数
的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数恒有两个不动点,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若图象上两个点A、B的横坐标是函数
的不动点,且线段AB的中点C在函数
的图象上,求实数b的最小值.
(参考公式:若,则线段AB的中点坐标为
)
(1)和3;(2)
;(3)
。
解析试题分析:(1) 当,
时
,由
,
解得或
,故所求的不动点为
和3. ------------------3分
(2)令,则
①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以------------5分
即恒成立,
则,
------------------8分
(3)依题意设,
则AB中点C的坐标为
又AB的中点在直线上
∴
------------9分
又是方程①的两个根,
,即
,
∴=
=
------------11分
∴当
时,bmin=
------------------12分
考点:二次函数的性质。
点评:做此题的关键是:①理解新定义:求函数的不动点即为求方程
=
的根;②发现参数b可以表示成参数a的函数即
,至此,求参数b最小值的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题.
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