题目内容
【题目】已知正方体,过对角线
作平面
交棱
于点E,交棱
于点F,则:
①平面分正方体所得两部分的体积相等;
②四边形一定是平行四边形;
③平面与平面
不可能垂直;
④四边形的面积有最大值.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①④B.②③C.①②④D.①②③④
【答案】C
【解析】
根据正方体的性质对每个命题进行判断.结合排除法可选正确结论.
截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥,四棱锥
,三棱锥
,截面下方几何体对称的也是三个棱锥,对应体积相等(特殊位置截面更容易得此结论),①正确,排除B;
由正方体相对两个面平行,根据面面平行的性质定理知四边形的两组对边平行,从而是平行四边形,②正确,排除A;
当是
中点,
是
中点,这时可证
平面
(先证
),从而平面
与平面
垂直,③错误,排除D,
只有C可选了.
事实上,四边形即有最大值也有最小值.
与
(或
)重合时面积最大,
是
中点时,面积最小.
设,正方体棱长为1,
,
,
,
,
在中,
,
所以,
所以,
所以或1时,
取得最大值
.④正确.
故选:C.
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