题目内容
19.已知函数f(x)=2cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1.(1)求函数f(x)的单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位,再向下平移$\frac{1}{2}$个长度单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的值域.
分析 (1)首先,根据降幂公式,结合辅助角公式化简函数解析式,得到f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),然后,确定其单调递减区间即可;
(2)首先,根据平移变换,得到函数g(x)的解析式,然后,求解器值域即可.
解答 解:(1)∵f(x)=2cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1.
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
∴f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,k∈Z,
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递减区间[$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{2π}{3}$+kπ],k∈Z,
(2)函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位,再向下平移$\frac{1}{2}$个长度单位,
∴g(x)=2sin[2(x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$,
=2sin(2x-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$,
∴g(x)=2sin(2x-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$,
∵x∈[0,$\frac{π}{2}$],
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$],
∴sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴2sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-1,2],
∴2sin(2x-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$],
∴函数g(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的值域[-$\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$].
点评 本题重点考查了三角公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.
A. | [1,$\sqrt{2}$] | B. | [-$\sqrt{2}$,-1]∪[1,$\sqrt{2}$] | C. | [$\sqrt{2}$,+∞) | D. | (-∞,-$\sqrt{2}$)∪[$\sqrt{2}$,+∞) |
A. | 奇函数 | B. | 偶函数 | ||
C. | 既是奇函数又是偶函数 | D. | 非奇非偶函数 |